학교 수학 수업의 주된 목표는 학생들이 배우고 있는 수학을 이해하게 하는 것이다. 예를 들어, 학생들이 세자리 수의 뺄셈이나 분수의 덧셈, 또는 원의 넓이를 구하는 방법을 배우는 것은 분명히 중요하지만, 이것만으로는 충분하지 않다. 학생들은 또한 학창시절 및 그 이후의 삶에서 만나게 되는 익숙하지 않은 상황에서 융통성 있게 그리고 적절하게 활용할 수 있도록 수학적 개념과 절차를 이해해야 한다. 학생들이 그 답을 어떻게 알게 되었는지에 대한 논의를 이끌 수 있는 문제인 것이다.
학생들에게 정확하게 문제를 해결하는 방법을 가르치고 학생들이 익숙해질 때까지 연습하게 하는 방법은 효과적인 것처럼 보이나, 실제로는 그다지 효과적이지 않다. 학생들에게 스스로 방법을 생각하라고 하는 대신에 어떻게 하는지 알려주게 되면 학생들은 잘 기억하지 못하거나 그 아이디어를 나중에 적용하지 못한다. 학생들이 문제에 직면하게 하여 스스로 해결해보도록 하고 그 결과를 논의하게 할 때 학생들의 수학적 이해를 증진할 수 있다.
다음은 문제해결을 통해 수학을 가르치는 데 도움이 되는 몇 가지 '지침'이다.
지침1: 학생들에게 문제가 되는 수학을 제공하여라.
이 지침이 의밓는 것은 학생들에게 도전이 되는 문제를 제시하고, 학생들이 어려움을 겪에하고, 학생들이 사용하는 접근 방법을 탐색하고 의미를 부여하도록 돕는 것이 중요하다는 것이다. 모든 학생들이 문제해결 경험으로부터 혜택을 받을 수 있다. 이러한 수업방법은 많은 교사들에게 아마도 익숙하지 않을 것이고, 많은 사람에게 의심스럽게 여겨질 수도 있다. 좋은 교사는 분명하고 완벽하게 설명을 잘해서 학생들이 어려움을 전혀 겪을 필요가 없게 해야 한다고 생각할 수도 있다. 그러나 학생들은 실제로 도전적인 문제를 해결하는 경험을 통해 자신들의 수학적 이해를 증진시킬 수 있는 것이다.
문제해결 수업을 하라는 말은 방대한 양의 문제를 찾아서 풀어보게 하는 것을 의미하지 않는다. 대신에, 학교 교육과정에 포함된 일상적인 수학적 도전에 대해서 학생들이 무엇을 해야 하는지 즉각적으로 말해주는 대신에 학생들 스스로 해결해 보도록 허용하는 것을 의미한다.
지침2: 문제를 해결하기 위해서 사용한 방법에 초점을 두어라.
학생들에게 익숙하지 않은 문제를 해결하게 할 때, 학생들은 자신의 해결 방법에 대해서 서로 말을 하고, 방법을 비교하며 장점 및 단점을 생각해 보도록 격려해야 한다.
학생들이 문제를 이해하도록 도전받을 때 학습이 시작된다. 학생들이 문제를 해결하기 위한 방법을 찾을 때 학습은 지속된다. 학생들이 서로 자신들의 접근 방법을 공유할 때 학습은 확장된다. 어떤 방법이 더 쉬운지 그리고 더 어려운지에 대해서 생각할 때, 그리고 왜 다양한 방법이 가능한지에 대해서 서로 의문을 제기할 때, 학생들의 수학적 이해가 깊어진다.
지침3: 적절한 시기에 적절한 것을 말하여라.
문제 해결 접근 방법을 활용하여 수학을 가르치는 교사들은 언제 정보를 공유할 것인지, 그리고 언제 학생들이 스스로 방법을 찾도록 내버려 둘 것인지를 결정해야 한다. 너무 빨리 말해주면 도전정신 및 학습효과는 약화되겠지만, 학생들이 문제를 전혀 해결하지 못하고 있을 때 그냥 내버려 두지 않는 것 또한 중요하다.
다음은 적절한 시기에 적절한 것을 말하기 위한 몇 가지 제안이다.
첫째, 학생들에게 수학의 기호(분수, 소수, 퍼센트, 연산, 식의 표기법 등)를 제시하고 이에 대한 전문적인 언어를 정의하는 것(차, 몫, 사각형, 중앙값과 같은 단어의 의미 등)은 괜찮다. 단어와 기호는 모두 단지 사회적인 관례이기 때문에 학생들이 스스로 이러한 것을 '발견'할 수 없다. 그러나 이러한 것들에 대해서 학생들에게 말하기에 가장 좋은 시점은 학생들이 수학적 노력을 하는 과정에서 자연스럽게 이런 것들이 등장할 때이다.
두 번째, 학생들이 특정 전략을 발견하지 못했을 때, 교사가 학생들에게 또 다른 문제해결 전략을 말해 주는 것은 괜찮다. 중요한 것은 학생들로 하여금 자신의 해결방법과 친구의 해결 방법, 그리고 교사가 제안한 방법을 비교하게 하는 것이다.
마지막으로, 문제해결에 대한 논의시간에 제기된 중요한 수학적 아이디어를 강조해야 한다. 문제를 해결하는 동안 학생들은 여러 가지 중요한 수학적 아이디어를 발견할 것이다. 교실에서 이러한 발견을 인식하고 말하도록 안내하는 것은 교사의 임무이다.